Bewegungslehre in der Mechanik als Spielwiese der Analysis

Als ABACUS-Nachhilfelehrer im Bereich der MINT-Fächer unterrichte ich Schülerinnen und Schüler in den Fächern Mathematik und Physik. Zu Beginn des laufenden Schuljahres stellte ich mit Freude fest, dass die Bildungspläne an Gymnasien des Kreises Pinneberg in der so genannten Einführungsphase E1 der gymnasialen Oberstufe in den Fächern Physik und Mathematik ideal aufeinander abgestimmt sind: Im Fach Physik steht die Mechanik auf dem Programm, die vernünftigerweise mit den verschiedenen Bewegungsformen und den zugehörigen Weg-Zeit-Kurven, also mit den Zusammenhängen zwischen den Größen Weg s (t), Geschwindigkeit v (t) und der Beschleunigung a (t) als Funktionen der Zeit t beginnt (Größenbezeichnungen wie in Lehrbüchern – so denn welche benutzt werden – üblich).

Parallel dazu werden im Fach Mathematik in dieser E1 – Phase die Anfänge der Analysis, also die Differentialrechnung behandelt. Schöner könnte es doch wohl nicht sein: Wie häufig klagt doch unsere lernende Jugend über die mangelnde Anschaulichkeit des behandelten Lehrstoffes in der Physik und stellt die verzweifelte Frage zu den im Mathematikunterricht vermittelten Regeln und Methoden: „Wozu muss ich das denn um Gottes Willen lernen und verstehen?“. Hier lässt sich doch dieser Konflikt wunderbar lösen.

Einerseits ist schon die Mechanik mit ihren typischen Bewegungsgesetzen von Hause aus relativ anschaulich. Zum anderen kann doch die Differentialrechnung in Ihrer sinnfälligen Anwendung kaum plausibler dargestellt werden als in diesem Kontext. In beiden Bereichen geht es um Funktionen und – das ist der Kernpunkt – um deren Zuwachs oder Abnahme, also allgemein gesprochen, um die Steigung von Funktionen. Leises Aufstöhnen von so manchem meiner Nachhilfeschüler in Appen, Prisdorf oder Ellerbek begleitet die Frage: Was sind denn nun wieder Funktionen?

Ein gutes Beispiel für eine Funktion finden wir in der Bewegungslehre:

Ein Fahrzeug startet zum Zeitpunkt t = 0 vom Heimatort zum Zielort und fährt dabei mit wechselnden Geschwindigkeiten. Misst man zu verschiedenen Zeiten t den vom Heimatort zurückgelegten Weg s, so ist diese Messreihe in ihrer Gesamtheit die Weg-Zeit-Funktion s (t) für diese Fahrt, die man als Messtabelle oder als Funktionsbild (Graph) in einem s-t -Diagramm darstellen kann. Eine Funktion verknüpft also eine abhängige Größe – im vorliegenden Fall die Wegstrecke s – mit einer unabhängigen Größe – bei der Weg-Zeit-Funktion – die Zeit t .

Wesentliches Merkmal der Funktion im mathematischen Sinne ist, dass es zu jedem Wert der unabhängigen Variablen genau einen Wert der abhängigen Variablen gibt (Eindeutigkeit).

Im Bereich der Mechanik stellt sich hier nun die spannende Frage, wie groß die Geschwindigkeit des Fahrzeuges zu jedem Zeitpunkt t dieser Fahrt war. Bei der ersten Bekanntschaft der Schülerinnen und Schüler mit diesem Thema in der Sekundarstufe I können nur mittlere Geschwindigkeiten in einem vorgegebenen Zeitintervall t1< t < t2 berechnet werden. Mit dieser Methode ermittelt man die Steigung einer Geraden – der so genannten Sekante – die die Weg-Zeit-Kurve im untersuchten Intervall in den Funktionswerten s (t1) und s (t2) schneidet. Mit dem aus der Behandlung der linearen Funktionen bekannten Steigungsdreieck wird die Steigung dieser Sekanten aus der Beziehung: vm = Δs / Δt, also vm = [s (t2) – s (t1)] /  t2 – t1 (Differenzenquotient) ermittelt.

Bei der gleichförmig – geradlinigen Bewegung ist dies natürlich sowohl die mittlere als auch die momentane Geschwindigkeit, während es bei einer ungleichförmigen Bewegung nur die mittlere Änderungsrate der Geschwindigkeit ergibt, die im Allgemeinen von Interwall zu Interwall einen anderen Wert hat.

In der beginnenden Oberstufe geben wir uns damit nicht zufrieden. Das müssen wir ja auch nicht, denn jetzt kommt uns die Analysis mit der Differentialrechnung zur Hilfe. Hier lernen wir, wie wir aus der Sekantensteigung die Steigung der Tangente in jedem Punkt einer Funktion – im Fall unseres Beispieles der Weg-Zeit-Funktion – berechnen können. Weil wir es zunächst nicht besser wissen, starten wir wieder mit der Steigung der Sekanten im Intervall t1< t < t2.

Wenn wir dann den Zeitpunkt t1 beibehalten und die zweite Intervallgrenze t2 immer mehr an t1 annähern und damit das Intervall immer mehr verkleinern, dann verändert unsere Sekante zunehmend ihre Lage und nähert sich der Tangente an die untersuchte Funktion im Zeitpunkt t1 an. Unter der allerdings wichtigen Voraussetzung, dass diese Funktion im untersuchten Verlauf stetig ist, das heißt vor allem keine Sprünge aufweist, können wir dann das Zeitintervall zu Null ( t2 → t1 ) machen und erhalten die Tangentensteigung und damit die Steigung der Funktion exakt im Zeitpunkt t1: v(t1) =  lim Δs / Δt. ( Differentialquotient) Δt→0 .

Diese Rechenoperation, für jeden Zeitpunkt t der Zeitfunktion ausgeführt, ergibt eine neue Funktion, die so genannte Ableitungsfunktion, mit deren Hilfe wir zu jedem Zeitpunkt t die Steigung der ursprünglichen Funktion ermitteln können. Man schreibt: v(t) = ds / dt = s ‚( t ) .

Mit den Kenntnissen der E1 – Stufe können wir dann stolz verkünden: Die Geschwindigkeit ist die erste Ableitung des Weges nach der Zeit. Und damit nicht genug: Die gleichen mathematischen Ansätze können wir natürlich auch auf eine weitere Kerngröße der Bewegungslehre anwenden, nämlich auf die Beschleunigung. Das klingt dann so:

Die Beschleunigung a(t) ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit a(t) = dv / dt = v ‚( t ) bzw. – um diese Aussage noch zu „toppen“ – die zweite Ableitung des Weges s (t) nach der Zeit a (t) = d²s / dt² = s “ (t).

Die Mechanik ist also eine der vielen „Spielwiesen“ der Analysis und damit in dieser für die Schülerinnen und Schüler so wichtigen Phase auf dem Wege hin zum Abitur bestens geeignet, das im Mathematikunterricht Erlernte in der nachfolgenden Physikstunde mit Spaß und Selbstbewusstsein anzuwenden.

In der Unterrichtspraxis stellt der ABACUS–Nachhilfelehrer dann allerdings mit gewisser Enttäuschung fest, dass sich seine Schülerinnen und Schüler dieses segensreichen und fächerübergreifenden Zusammenhanges keineswegs bewusst sind. Die Frage stellt sich doch:

Ist das in der Schule gar nicht vermittelt worden oder ist da etwas auf dem Wege nach Hause verloren gegangen?

Das Hamburger Abendblatt vom 30. Oktober 2014 berichtete von einer „Qualitätsoffensive“ des Hamburger Schulsenators an Stadtteilschulen. In diesem Zusammenhang werden Zahlen über die Qualifikation von Lehrern an Stadtteilschulen und Gymnasien in verschiedenen Fächern – insbesondere auch in den naturwissenschaftlichen – genannt. Ein großer Prozentsatz des Unterrichts in Mathematik und Physik wird demnach nicht von ausgebildeten Mathematik- bzw. Physiklehrern gegeben. Es spricht einiges dafür, dass diese Aussage auch für Schulen im Hamburger Umland gilt. Der Hamburger Schulsenator hat diesem Artikel zu Folge immerhin erkannt (Zitat): „Die frühere Erkenntnis, dass es keine Fachlehrer braucht, sondern nur den guten Pädagogen, ist falsch“ und will Defizite ausgleichen (Zitat): „Wir wollen eine umfassende Verbesserung gerade in Mathematik, aber auch in… den Naturwissenschaften.“

Stimmen wir uns mit ihm positiv ein in der Erwartung, dass diese Erkenntnisse und Absichten Bundesland übergreifend Früchte tragen möge!

Veröffentlicht von

Hensel

Prof. Dr. Wilfried Hensel, TU Berlin. 30 Jahre naturwissenschaftliche Lehrerfahrung

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