Mathe Nachhilfe: Teilen durch Null?

Man kann nicht durch Null teilen, haben wir im Mathematikunterricht beim Mathelehrer gelernt.

Eine Begründung gab es dafür vom Mathelehrer in der Schule nicht, außer dem schwammigen Hinweis, das ginge nicht, sei verboten. Drohung im Hintergrund… Fragt man jemand, was es denn ergebe, wenn man zum Beispiel 3 durch Null teilt, lautet eine schlichte, aber falsche Antwort: 3.

Allerdings ist 3 durch 1 auch 3. Dann müsste also auch Null gleich 1 sein, weil beide Male der Wert des Bruches 3 sein soll.

Grundgesetz der Mathematik ist das Gesetz der Identität der Zahlen: Jede Zahl ist nur sich selbst gleich. Das schließt die Gleichung 1 gleich Null aber aus, denn es ist 1 ungleich Null.

Eine andere Antwort kann man auch hören. „Drei durch Null ist nichts“, im Sinne von Null. Das ist aber auch nicht brauchbar, weil nur das Teilen von Null durch eine Zahl, die nicht gleich Null ist, auch Null ergibt. Was könnte denn nun noch sein? Angenommen, das gedachte Ergebnis wäre eine Phantomzahl mit der Eigenschaft, mit dem Nenner Null multipliziert den ursprünglichen Zähler zu ergeben, nämlich 3. Dagegen spricht aber, dass jede Multiplikation mit Null stets Null ergibt.

Großes Problem…

Denn es sollte ja nun wieder 3 das Ergebnis sein, nicht Null. Und 3 kann nicht Null sein, wenn man auch hier wieder auf dem Boden der mathematischen Realität bleiben will. Die Phantomzahl ist und bleibt also nur ein Phantom, das keine Wirklichkeit besitzt. Deshalb gilt die Division durch Null mathematisch als nicht definiert.

Und was ist gar mit Null durch Null? Das kann doch nicht – gekürzt – eins ergeben? Oder doch? Oh 🙂

Veröffentlicht von

Bach

Dr. Siegfried Bach ist Gymnasiallehrer im Ruhestand, Studienleiter und Lektor.

4 Gedanken zu „Mathe Nachhilfe: Teilen durch Null?“

  1. Tja die Tiefen der hohen Mathematik, ich habe damals eine schlecht note bekommen weil ich meine eigen rechenwege hatte..
    und anstatt die zu eruieren, wurde einfach gesagt nein das ist nicht richtig und zu kompliziert, aber die wege konnte ich so im kopf ausrechnen ohne etwas aufzuschreiben..

    verkehrte welt 😉 lg

  2. So, jetzt machen wir aus der Mücke mal einen Elefanten, indem wir „seriöse“ Mathematik betreiben: Augenzwinkern

    In jedem Körper (K,+,*) ergibt die Division durch das Nullelement der Addition, also x/0=y, keinen Sinn:

    Denn dann müsste x=y*0 sein, und man kann 0*y nicht anders festlegen als 0, da ja die Distributivgesetze gelten müssen:
    0*y=(1-1)*y=1*y-1*y=y-y=0.

    Im Fall x=0 ist also jedes y Lösung der Gleichung x=y*0, im Fall x != 0 überhaupt kein y – eine eindeutige Festlegung, so wie man es bei solch einer Operation fordert, ist also in keinem Fall möglich.

    Damit ist klar, dass sämtliche Versuche IR zu erweitern (durch Hinzunahme von +-Unendlich, o.ä.), so dass x/0 erklärt ist und dabei die aus R vorhandenen (Körper-)Rechenregeln beibehalten werden, von vornherein zum Scheitern verurteilt sind.

  3. Die Division durch Null ist nicht definiert, weil man sonst, wenn man mit ihr so rechnen könnte wie mit allen anderen Zahlen, Widersprüche erzeugen könnte.
    Sei z.B. 1 / 0 = a und 2 / 0 = b. Dann wäre 1 = a * 0 und 2 = b * 0. In den reellen Zahlen gilt aber x * 0 = 0, für alle x. Also ist a * 0 = 0 = b * 0. Bei obiger Rechnung aber würde dann folgen: 1 = 0 bzw. 2 = 0. Und das ist offensichtlich falsch und obendrein nicht eindeutig.

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