Sommerferienpause und Mathematik. Ein Gegenpol?

Mit welchen Gefühlen die Schülerinnen und Schüler in das letzte Woche begonnene neue Schuljahr gehen, hängt sicherlich von verschiedenen Faktoren ab: Wie habe ich das letzte Schuljahr abgeschlossen? Entsprachen die Ferien meinen Erwartungen und habe ich sie auch richtig genutzt? Was kommt auf mich im kommenden Schuljahr an Anforderungen in den Fächern Mathematik und Physik zu?

Als ABACUS-Nachhilfelehrer in MINT-Fächern für die Nachhilfe Kreis Pinneberg nehme ich den Beginn des neuen Schuljahres zum Anlass, auf die Frage, die ich in meinem letzten Beitrag gestellt habe, zurück zu kommen: Sind wir – das ist die Gemeinschaft der Lehrenden und Lernenden zusammen mit deren Eltern – hinsichtlich einer Schulbildung, die den Anforderungen an die zukünftigen „Akteure“ in unserer Gesellschaft gerecht wird, auf dem richtigen Kurs?

Eine lange „Auszeit“ wie die Sommerferien bietet mehrfache Chancen: Die Ferien genießen und Kraft für neue Aufgaben und Ansätze gewinnen, über wichtige Fragen, wie zum Beispiel die hier erneut gestellte, nachdenken, gegebenenfalls die Notwendigkeit von Kurswechseln erkennen und beschließen und vielleicht einen Teil der Ferien nutzen, um bereits im Sinne eines derartigen Kurswechsels zu arbeiten.

Nun gebe ich gerne zu, dass die Verbindung von Arbeit im Sinne von schulischer Ausbildung und Sommerferien sicher wenig populär ist und deshalb kaum Anklang bei den „Ferienmachern“ finden wird.

Um verständlich zu machen, weshalb ich in dem Zusammenhang auf diese „abartige Idee“ gekommen bin, will ich ein Thema aufgreifen, das die MINT-Fächer – und hier insbesondere das Fach Mathematik – kennzeichnet.

In einigen meiner früheren Kurzartikel hatte ich bereits darauf hingewiesen, dass dieses Fachgebiet praktisch keine Wissenslücken zulässt.

KEIN Teilgebiet der Mathematik, das in einer bestimmten Phase der Schulausbildung bearbeitet und dann zunächst abgeschlossen wirkt, kann man – getreu dem Motto: „Das war’s!“ während der Schullaufbahn abhaken. Es kommt wieder, ganz bestimmt und das Wissen baut, wie in Treppenfächern eben üblich, aufeinander auf!

Wissensgebiete, wie zum Beispiel Sprachen, haben hinsichtlich Grammatik und Vokabular gewisse Redundanzen: Man kann einen Text in Spanisch auch verstehen oder formulieren, wenn man Wissenslücken hat – auch hier wiederhole ich mich gegenüber früheren Beiträgen. Nicht so in der Mathematik, es sei denn man betrachtet die in jüngster Zeit häufig zitierte „Kompetenz der modernen Schultaschenrechner“ als ausreichenden Ersatz für individuelle Wissenslücken in der Mathematik, was ich eher nicht empfehlen möchte.

Vielmehr möchte diesen Beitrag dazu nutzen, meine Aussage zum Thema „Wissenslücken in Mathe“ an einer Aufgabenstellung beispielhaft deutlich machen, die sich den Schülerinnen und Schülern mit größter Hartnäckigkeit von der Mittelstufe bis hin zum Abiturium immer wieder stellt. Diese hier angesprochene Lücke habe ich in den verschiedensten Phasen der mathematischen Schulausbildung bei Schülerinnen und Schülern und im Zusammenhang mit sehr unterschiedlichen mathematischen Teilgebieten immer wieder entdeckt, wozu der individuelle ABACUS-Nachhilfeunterricht – für’s Entdecken und für’s Schließen – natürlich bestens geeignet ist. 🙂

In der Sekundarstufe werden die Schülerinnen und Schülern – nachdem sie den Umgang mit linearen Gleichungen erlernt haben – mit der nächsten Kategorie der ganzrationalen Funktionen, den Gleichungen zweiter Ordnung konfrontiert. Die Überschrift zu diesem Kapitel in dieser Ausbildungsphase heißt dann: „Die Parabel“. Die hier üblichen Teilaufgaben erfordern die Ermittlung der Nullstellen einer Parabel, beziehungsweise die Berechnung der Schnittpunkte einer Parabel mit einer Geraden oder einer anderen Parabel. Diesen Aufgaben ist gemeinsam, dass letztlich eine quadratische Gleichung von der Form:

ax² + bx + c = 0

gelöst werden muss. Es sind also die Werte x zu bestimmen, für die diese Gleichung erfüllt ist, wobei es bekanntlich drei Möglichkeiten gibt (zwei, eine oder keine Lösung). Gelegentlich wird im Mathematikunterricht noch dargestellt, wie die Lösungsgleichung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung sowie des 1. bzw. 2. Binomischen Satzes abgeleitet wird.

In der Regel jedoch werden die Schülerinnen und Schüler mit dem fertigen Lösungsausdruck konfrontiert, der unter dem bekannten Namen „p – q – Formel“ in den Lehrbüchern und gängigen Formelsammlungen zu finden ist. Dieser Lösungsansatz bezieht sich auf eine quadratische Gleichung in der Ausgangsform:

x² + px + q = 0

und lautet:

x1/2 = -p/2 ± √ (p/2)² – q

Der Teufel steckt – wie immer – im Detail: Diese Lösungsformel ist in der standardmäßig angebotenen Form nur gültig, wenn in der Ausgangsformel vor dem quadratischen Term der Koeffizient +1 steht (Normalform), was häufig im heute üblichen „kompetenzorientierten“ schulischen Schnellfahren nicht beachtet wird.

An dieser Stelle kann und will ich mir nicht „verkneifen“, darauf hin zu weisen, dass es sich auch lohnt, die Handhabung von Brüchen im weiteren Gang der mathematischen Fortbildung im Schulalltag nicht zu vernachlässigen. Die vorgenannte Lösungsformel enthält den Bruch p/2 und dessen Quadrat. Die Tendenz, diesen Bruch mit dem Taschenrechner schnellsten in eine Dezimalzahl umzuwandeln und damit dann natürlich auch unter der Wurzel weiter zu rechnen, ist weit verbreitet.

Meine Empfehlung lautet hier, solange wie möglich mit den Brüchen weiter zu arbeiten. Häufig ergibt sich dann der Radikant in der Zusammenfassung als ein Bruch, der im Zähler und Nenner Quadratzahlen enthält, so dass man die Wurzel ganz schnell – auch ohne Taschenrechner – ziehen kann. Kaum zu glauben!

Die Anwendung dieser Lösungsmethode sollte in der Sekundarstufe solange ausgiebig geübt werden, bis das Themengebiet „Parabel / Quadratische Gleichungen“ abgeschlossen ist.

Zu einem späteren Zeitpunkt – in der Regel zu Beginn der Oberstufe – wird im Rahmen der Analysis die Differentialrechnung behandelt, wo es unter anderem um die Ermittlung von Extremstellen und Wendepunkten geht. Ziel ist es, den Verlauf (Graph) von Funktionen darzustellen (Kurvendiskussion). Hierbei müssen die Nullstellen sowohl der Ausgangsfunktion selbst als auch die ihrer Ableitungen ermittelt werden.

Dabei spielen die ganzrationalen Funktionen, zu denen ja auch die quadratischen Gleichungen gehören, eine wesentliche Rolle. Die Möglichkeiten, Nullstellen von ganzrationalen Funktionen höherer Ordnung (>3) mit den Kenntnissen der Schulmathematik zu lösen, sind sehr begrenzt. Deshalb führen die im Schulunterricht und in den Lehrbüchern angebotenen Aufgaben zwangsläufig immer wieder auf quadratische Ausdrücke.

Es geht also in dieser wie in vielen ähnlichen Phasen des Mathematikunterrichtes nur voran, wenn auf bereits erworbene Kenntnisse zurückgegriffen werden kann: In diesem Falle ist zum Beispiel die sogenannte „p – q – Formel“ und ihre Handhabung gefragt. Wer diese Lösungsmethode seinerzeit nicht verstanden oder inzwischen vergessen hat, der hat die besagte Wissenslücke mit in der Regel unliebsamen Folgen.

Derartige Lücken lassen sich im Schulalltag, der häufig nur noch Themenbereiche anreißt ohne zu vertiefen und Wissen zu konditionieren, bekanntlich schlecht identifizieren und schließen. Hier sehen wir die Chancen richtig genutzter Ferienzeiten ;-).

In der Hoffnung, dass diese Erkenntnis in den vergangenen Sommerferien weit verbreitet war, wünsche ich, dass alle, die es betrifft, durch das kommende Schuljahr erfolgreich auf dem richtigen Kurs navigieren.

Veröffentlicht von

Hensel

Prof. Dr. Wilfried Hensel, TU Berlin. 30 Jahre naturwissenschaftliche Lehrerfahrung

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